Арифметическая прогрессия - последовательность, каждый член которой равен предыдущему сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью и обозначается буквой d.

Формула n-ного члена:  a_n = a₁ + d(n-1)

Формула суммы n первых членов:  S = ((a₁ + a_n) / 2) * n = ((2*a₁ + d (n - 1)) / 2) * n

Геометрическая прогрессия - последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обознпчпется буквой q (кю).

Формула n-ного члена: b_n = b₁ * q^n-1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

S_n = (b₁ * (1 - gⁿ)) / (1 - g), (g ≠ 1)

S_n = (b₁ - b_n q) / ( 1-q),  (q ≠ 1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:  S = b / ( 1 - g)

Примеры задач и ответы:

1) Найти четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, в которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.

Ответ: а) 7; -28; 112; -448.

б) - 35/3; -140/3; -560/3; -2240/3.

2) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11-ти первых членов этой прогрессии.

Ответ: 44.

3) Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 5/3, а произведения третьего и четвертого 65/72. Найти сумму семнадцати первых членов.

Ответ: 119/3.

4) Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель равен 6, а сумма 6-ти первых членов 1820.

Ответ: b1 = 5; b5 = 405.

5) Произведение трех первых членов геометрической прогрессии 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
Ответ: b1 = 48; q1= 1/4 или b1 = 3, q1 = 4.

6) Найти сумму всех положительных парных двузначных чисел, которые делятся на 3 без остатка.

Ответ: 810.